2.DERECEDEN DENKLEMLER

TANIM: a,b,c gerçek sayı ve  olmak üzere

=0 denklemine 2. Dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 

Örnek1:  denklemi 2. Dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ise a+b kaçtır?

Çözüm: Denklem 2. Dereceden ise lü  terimin olmaması gerekir.  Bunun için lü terimin katsayısını sıfıra eşitlemek gerekir.    a-2=0 ve a=2 bulunur.

2. derece olması için  li terim olması gerektiğinden  b+4=2 ve b=-2 bulunur.

a+b=2+(-2)=0 bulunur.

 

Örnek2(örnek1 in benzeri):  denklemi 2. Dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ise b değerleri toplamı kaçtır?

Çözüm: lü terimin olmaması gerektiğini biliyoruz.  a-2=0 ise a=2 bulunur. 2. derece olması için gerekli olan terim zaten mevcut. . O halde  teriminin kuvvetinin 2 olma zorunluluğu yok. Bu yüzdendir ki b=0,1,2 değerlerini alabilir.(Dikkat: b değerleri negatif değerler almaz. Alırsa 2. Derece denklem olmaz)

 yani b değerleri toplamı  0+1+2=3 olur.

 

2. DERECE DENKLEMİN KÖKLERİNİ BULMA

 , =0 denkleminin kökleri  ve olsun.

 olmak üzere

  ve   dır.

 

Örnek3:  denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm: a=1, b=-3 ve c=1 olur.

 ise   ve

 ise   olur.

 

Örnek4:  denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:

 ise

 ise

 

NOT:=0 denkleminde

 ise farklı iki kök vardır.

 ise reel kök yoktur.

 ise eşit iki vardır. (çift kat kök vardır, çözüm kümesi 1 elemanlı, ifade tam kare şeklinde de verilebilir)

 

Örnek5:  denkleminin farklı iki kökü varsa m için ne söylenir?

Çözüm: Farklı iki kökü varsa  olmalı.

 ve  olur.

 

Örnek6:  denkleminin eşit iki kökü varsa m değerleri çarpımı kaçtır?

Çözüm: ve  olur.

Değerler çarpımı da   bulunur.

 

Örnek7:  denkleminin iki kökü varsa m için ne söylenir?

Çözüm: Bu soruda dikkat edilmesi gereken nokta iki kökün olduğu söyleniyor, köklerin farklı olduğunu söylemiyor.

O halde köklerin eşit olma durumunu da göz önünde bulundurmak gerekiyor. Yani  olmalı.

 ,   buradan da veya  çıkar. (bkz mutlak değer 2)

 

Örnek8: denkleminin reel kökü olmadığına göre m için ne söylenir?

Çözüm: Reel kökü yoksa  olmalı.

, düzenlersek  ve  bulunur.

 

Örnek9:  denkleminin bir kökü 2 ise a kaçtır?

Çözüm: Kök denklemi sağlayacağından x=2 değerini denklemde yerine  yazalım.

 ve buradan da  bulunur.

 

Örnek10:  denkleminin kökleri  ve  dir. Buna göre,

 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: İfadenin köklerini  yöntemi ile bulup yerine yazarsak çok zahmetli bir yol olur. Dikkatli incelersek istenen ifade ile verilen denklem birbirine benziyor. Kökleri denklemde yazarsak,

 ve  elde ederiz. Yani  ve  elde ederiz.

Bunları istenen ifadede yerine yazarsak,

 elde ederiz.

 

2.DERECEYE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEM ÇÖZÜMLERİ

Örnek11: denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:  ifadesine  dersek  denklem,  haline dönüşür.  Çarpanlarına ayıralım.

 (çarpımları +5, toplamları -6 olan iki sayı -1 ve -5 tir.)

Kökler de a=1 ve a=5 bulunur. Biz  ifadesine a demiştik. Şimdi bulduğumuz  a değerlerini  e eşitleyelim.

 ve  bulunur. Çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek12:   denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:  olsun. Denklem  haline dönüşür. Çarpanlarına ayıralım (çarpımları 12 ve toplamları -8 olan sayılar -6 ve -2 dir)

 olur.  Kökler de a=6 ve a=2 dir.   ifadesini 6 ve 2 ye eşitleyelim.

 ve ,

 ve   bulunur.

Kökler de  olarak bulunur.

 

KÖKLÜ DENKLEMLER

! Köklü denklemlerde köklü ifadeyi ortadan kaldırmak için köklü ifadenin kuvveti alınır. Dikkat edilmesi gereken nokta, bulunan köklerin denklemde yerine yazılıp ifadeyi sağlayıp sağlamadığına dikkat etmektir. Çünkü kuvvet alındıktan sonra denklemi sağlamayan yeni kökler türeyebilir.

 

Örnek13:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  ifadesini çarpanlarına ayıralım

ve  bulunur.

Buradan sonrası daha önemli , x=0 değerini denklemde yazarsak, olur yani x=0 değeri denklemi sağlamaz. x=6 değerinin sağladığı görülür. Çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek14:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:her iki tarafın karesini alalım

,

,   yine her iki tarafın karesini alalım

 bulunur.

 

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Örnek15:  denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:Bu gibi sorularda mutlak değerin içini sıfır yapan değere (kritik nokta) göre yorum yapılır. (bkzmutlak değer 2 örnek5)

 içini sıfır yapan  değer x=0 olduğundan 1)  ve 2)  için inceleme yapılır.

1) için mutlak değerin içi olduğu gibi dışarı çıkacağından denklem,

haline dönüşür. Kökleri de x=4ve x=-3 bulunur. Ama biz  kabul ettiğimizden x=4 alınır.

1)  için mutlak değerin içi işaret değiştireceğinden  denklem,

 haline dönüşür. Kökleri de  x=-4 ve x=3 bulunur. Ama biz  kabul ettiğimizden x=-4 alınır.

Dolayısıyla çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek16:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: örnek15 teki soruyla aynı mantığı kullanalım.

 sağlayan değer  olduğundan

1)  için  bulunur.   kabul ettiğimizden x=2 köktür.

2)  için bulunur.   kabul ettiğimizden x=0 köktür.

Çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek17:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  haline getirelim. Burada önemli olan nokta ifadeyi  parantezine almaktır.

!Eğer her iki taraftan  ifadesini sadeleştireceksek de  ifadesini unutmamak gerekir. Çünkü her sadeleştirme kök yok etmek demektir.

 ise olarak bulduğumuz kökü bir kenara yazalım.

Geriye  kalır. Buradan  ve  bulunur.

Çözüm kümesi de olarak bulunur.

 

Yapılan Yorumlar

dfgy
dfgy
16 Mayıs 2015
süperrrrrrrrr......,,,,,,,,,,,,,****************************
ali kozan
ali kozan
28 Mayıs 2015
ALLAH sizden razı olsun 2 saattir böyle bir şey arıyordum teşekkürler
elif
elif
09 Kasım 2015
süper son derece
ilknur
ilknur
19 Aralık 2015
4 saat oldu arıyordum sizde buldum eyv saolun :)
sdfdf
sdfdf
27 Aralık 2015
Ben şu sonda ki soruyu anlamadım, |x-4|=1 nasıl oldu? Yani o 1 nereden geldi?
Admin: Eşitliğin her iki yanından |x-4| ifadesini sadelestirdik.
nil
nil
02 Şubat 2016
Çok güzel olmuş bende böyle arıyodum teşekkürler
rıdvan
rıdvan
14 Mart 2016
elleriniz dert görmesin harika olmuş gerçekten
aliye
aliye
15 Mart 2016
Süpersiniz
egzö
egzö
15 Mart 2016
anlatım iyi bu konuyu çok seviyorum.
yağmur
yağmur
16 Mart 2016
Allah razı olsun çok güzel sorular
pınar
pınar
20 Mart 2016
teşekkürler proje ödevimdi iyi not alırım inşalla
hinşallah
pınar
pınar
20 Mart 2016
Allah razı olsun 100 alırım inşallah
bengisu
bengisu
22 Mart 2016
bayıldım elerinize sağlık güzeldi... beğenmeyene : / : / beğenene :D :D
beyza
beyza
29 Mart 2016
Supersiniz
seda
seda
01 Nisan 2016
Muhtesemmmmmm
murtaza
murtaza
04 Nisan 2016
güzel sorular
Melike
Melike
12 Nisan 2016
Teşekkürlerrrrrrrrrrrrrrrr☺☺☺
Miray
Miray
18 Nisan 2016
Teşekkürler sağ olun
Admin: siz de sağolun
sevgi
sevgi
20 Nisan 2016
Sağ olun teşekkür ettim
Emre Burak AYTEKIN
Emre Burak AYTEKIN
25 Haziran 2016
Emek harcayanların geçmişlerinin canına değsin elleri dert görmesin yapamadığım soruları sular seller gibi yapıyorum şimdi. .d
Hatice nur
Hatice nur
01 Kasım 2016
Allah razı olsun sizin sayenizde buldum
Sevda
Sevda
14 Aralık 2016
Matimatikverimlütfen
medeni
medeni
15 Aralık 2016
Süpersinizzzzzzzzzz
hayt
hayt
23 Aralık 2016
Teşekûrler baya isime yaradı órnekler.
Ismail
Ismail
24 Aralık 2016
Harikaaaaaaaaaa
Gamzenur
Gamzenur
02 Ocak 2017
Çoook teşekkür😊😊😊
Gamzenur
Gamzenur
02 Ocak 2017
Çoook teşekkür ederim beş dakikada ödevim bitti😊😊😊
Yasmin
Yasmin
03 Şubat 2017
Bende beģendim 😴😪😍😍😍😍😍😍😍😍
Yasmin
Yasmin
03 Şubat 2017
Bende beģendim 😴😪😍😍😍😍😍😍😍😍
MineDilan
MineDilan
01 Mart 2017
Teşekkürler......
nihat
nihat
03 Nisan 2017
köklerle ilgili daha çok olsa süper olur ::::::.

Yorum Yapın

Adınız:
Mesajınız:
 
Popüler Sayfalar:
© 2015 Matematik Sorusu