Tanım: 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına 'n faktöriyel' denir ve  n!  şeklinde gösterilir.

.n!=1.2.3........(n-1).n                          .0!=1 ve 1!=1 dir.

Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120,  4!=4.3.2.1=24,  6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

Not: 6!=6.5.4.3.2.1 dir. 5!=5.4.3.2.1 olduğundan 6!=6.5! şeklinde yazılır. Genelleştirirsek,

.n!=n.(n-1)!   veya  n!=n(n-1).(n-2)! Şeklinde yazılabilir.

 

Uyarı: Faktöriyeli tek sayı olan sayılar 0 ve 1 dir. (0!=1 ve 1!=1) bu sayıların dışında kalan sayıların faktöriyeli çifttir. Çünkü 2 den itibaren tüm sayıların faktöriyellerinde en az bir çift sayı vardır.

 

Örnek1:  ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: Büyük olan sayıyı küçük olan sayıya benzetmek gerekir.

10!=10.9.8! ,  11!=11.10! şeklinde yazılırsa,  elde edilir.

 

Örnek2: 8!=a ise 8!+9! İfadesinin a türünden eşiti kaçtır?

Çözüm: 9! İfadesini 9.8! şeklinde yazıp 8! parantezine alırsak

8!+9!=8!+9.8!=8!(1+9)=8!.10=a.10 bulunur.

 

Örnek3: 2!+4!+6!+.................+150!  işleminin son basamağı kaçtır?

Çözüm3: Son basamağı istiyorsa mutlaka işin içinde son basamakları sıfır olan sayılar vardır.

2!=2, 4!=24, 5!=120, 6!=720 ............dikkat edilirse 5! den sonraki her sayının faktöriyelinin son basamağında sıfır vardır. Dolayısıyla son basamak,  sıfır dışında kalan sayılar tarafından belirlenir. Yani 2!+4!=2+24=26  nın son basamağı olan 6 cevabımızdır.

 

 formatındaki soru tarzı:

 

Örnek4: x,k pozitif tam sayı ise   ifadesinde x en çok kaçtır?

12!=12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1  ifadesinde kaç tane 2 çarpanı vardır diye soruluyor. 12 nin içinde 2 tane , 10 nun içinde 1 tane , 8 in içinde 3 tane ,6 nın içinde 1 tene , 4 ün içinde 2 tane  ve 2 nin içinde de 1 tane 2 çarpanı vardır. Toplamda da 2+1+3+1+2+1=10 tane 2 çarpanı vardır.

Ne yaptığımızı anladıysak daha kısa sürsün diye 12 yi 2 ye bölelim sonra bölümü tekrar 2 ye bölelim, böylece devam etsin. En sonunda da bölümleri toplarsak yine aynı sonuca ulaşırız.

 

                               6+3+1=10

 

 

 

 

 

 

 

Örnek5:  x ve y doğal sayılar.   sağlayan  en büyük x sayısı kaçtır?

Çözüm: DİKKAT! İlk bilmemiz gereken nokta  ifadesinde a nın asal sayı olması gerektiğidir. Eğer asal değil ise asal çarpanlarına ayrılmalı.

 haline dönüşmeli. Örnek4 teki gibi 12 yi 2 ye bölelim.

buradaki 10 sayısını 2 nin kuvvetine eşitlersek 10=3x ifadesinde x tam sayı çıkmaz ama biz x i 3 alacağız. (tam bölünmesi gerekmiyor bölümü alırız.)

 

 

 

 

 

Örnek6: a ve b pozitif tam sayılar.  sağlayan,

a)en büyük a sayısı kaçtır?

b)en küçük a sayısı kaçtır?

c)kaç farklı a sayısı vardır?

Çözüm6: a)10 sayısı asal sayı olmadığı için asal çarpanlarına ayıralım. 10=2.5

 

5 için a en çok 7+1=8,

2 için x en çok 17+8+4+2+1=32 oluyor. Kuvveti az olan 8 bizim cevabımızdır. Neden mi?

 

 

 

Elinizde 8 tane 5, ve 32 tane 2 varsa kaç tane 10 elde edebilirsiniz? 8 tane 5 ve 8 tane 2 yi bağlarsınız 8 tane 10 elde edersiniz. Daha fazla 10 elde etmek için elinizde 5 kalmadı değilmi.

Dikkat! Bu yüzdendir ki üsleri eşit ifadeler varken büyük olan çarpana bölmemiz yeterli olur.

b)En küçük değer a sayısının nasıl tanımlandığı ile ilgilidir. Soru kökünde a sayısının pozitif tam sayı olduğu söyleniyor.  En küçük pozitif tam sayı 1 olduğundan a en az 1 dir. (!a için doğal sayı deseydi en az a=0 alınırdı.)

c) a en az 1, en çok 8 bulunduğuna göre a sayısı 1 ile 8 arasındaki (1 ve 8 dahil) her değeri alabilir.

O halde cevabımız 8 olur.

 

Örnek7:  k ve m doğal sayılar. ifadesinde k en çok kaçtır?

Çözüm7:  21 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

  ifadesinde büyük çarpan 7 olduğundan 60 sayısını 7 ye bölelim.               

        

                                                         bölümler toplamı 8+1=9 cevabımız olur.

 

 

 


 

 

Örnek8: 35! Sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevap8: a ve b pozitif tam sayılar.  sağlayan  a nın en büyük değeri kaçtır ile aynı sorudur.


büyük çarpan olan 5 e böldük cevap 8 olur.

 

 

 

Örnek9: 45!-25! İfadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır?

                    

 

                           


45! İn sonunda 10 tane, 25! Sonunda 6 tane sıfır vardır. Çıkarma işlemi yaparsak küçük olan sayı kadar sıfır kalır. Cevabımız 6 olur.

 

 

 

 

Örnek10: 26!-25! İfadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır?

Çözüm: ifadeyi ortak paranteze alalım. 26.25!-25!=25!(26-1)=25!.25 olur. Sorumuz;

 k en çok kaçtır ile aynı sorudur. Normal şartlarda 25! i 5 e böleriz ve 6 buluruz. (bkz.Örnek9)

Fakat bu soruda ek olarak 25 çarpanı da var ve 25 in içinde 2 tane 5 saklı . Bu iki tane 5 çarpanı da bulduğumuz 6 sayısına eklenmeli. Yani cevabımız 8 olur.

 

Örnek11:    ifadesinde x pozitif tam sayı, y ise pozitif çift tamsayı ise x en fazla kaçtır?

Çözüm:  ifadesinde x in en büyük değeri için y tek tamsayı çıkar.  çünkü 15! in içindeki tüm 2 çarpanlarını alırsak geri kalan ifade tek sayı olur. ama soruda y nin pozitif çift tamsayı olduğunu belirtmiş. Bunun olabilmesi için de en az bir tane 2 çarpanını y ye vermek gerekir.

 Elimizde 7+3+1=11 tane 2 çarpanı vardır. Ama 1 tane 2 yi y ye verecektik. Bu yüzden x en çok 10 olur.

 

 

 

Örnek12: 35!-1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur?

Çözüm: 35! in sondan 8 basamağı sıfırdır. (bkz. Örnek8)

Sonunda 8 sıfır olan bir sayıdan 1 sayısını çıkarırsak 8 basamak 9 olur.

 

 

Örnek13:  25! Sayısı 6 lık sayma sisteminde yazıldığında sondan kaç basamağı sıfır olur?

Çözüm:  sayısı 3 ün sağına 5 tane sıfır yazmak demektir)

Nasıl ki bizim sayma sistemimiz olan 10 tabanında 10 un kuvvetleri sıfır anlamına geliyorsa 6 tabanında da 6 nın kuvvetleri sıfır anlamına gelir. Yani aslında soru  ifadesinde x en çok kaçtır sorusuyla aynı sorudur.

 ifadesinde üsler eşit olduğundan büyük olan çarpana bölelim.


                        8+2=10 cevabımızdır.

 

 

 

 

Yapılan Yorumlar

hilal
hilal
05 Temmuz 2015
Cok iyi bu ,tesekkurler
abdul
abdul
27 Temmuz 2015
İstedigimi buldum tesekkürler.
Hakan
Hakan
28 Temmuz 2015
şimdi annadım:)
Mahmut Cemtürkersiz
Mahmut Cemtürkersiz
20 Ağustos 2015
Hocam sağolun çok işe yaradı
Serkan
Serkan
17 Eylül 2015
Bu sayfa da olmasa tam faktoriyel anlatan bi site bulamayacagiz.
Emine cankir
Emine cankir
19 Eylül 2015
ab ve ba iki basamaklı dogal sayilardir.
ab+ba toplami bir tam kare ise kac farkli ab sayisi yayazilabilir.
admin: sorunuz çözümlü sorular kısmına taşınmıştır.
Ali
Ali
23 Eylül 2015
Iyi aksamlar bir soru var cv bini bir turlu bulamadim yardimci olursaniz sevinirim. Teşekkürler.
5! Sayisinin 4! Sayma sisteminde (tabaninda) yazilisi nedir?
ADMİN:sorularınızı 'soru sor' bölümüne yazarsanız daha hızlı cevap alırsınız. sorunuz çözümlü sorular kısmına taşınmıştır.
emine
emine
29 Eylül 2015
Harika olmus
meryem paryy
meryem paryy
02 Ekim 2015
sorulariz ve konu anlatiminiz gayet iyi begendim..
.
berz
berz
05 Ekim 2015
Soru göndersem çözer misiniz?
Admin: soru sor bölümü bu amaçla açıldı
Mehtap
Mehtap
07 Ekim 2015
Emeğinize sağlık... Teşekkürler :)
fatma
fatma
10 Ekim 2015
Tsk ederim soruyu burdan çözdüm:-D
ahe
ahe
12 Ekim 2015
Hocam çok güzel olmuş fakat bu soru için araştırma yaptım ama bişey bulamadım bir bakarsanız sevinirim.
soru)
a ve b birer doğal sayı
a!=120.b!
a+b kaç farklı değer alır?
Admin: sorunuz çözümlü sorular kısmında çözüldü.
Doğa Mumcu
Doğa Mumcu
13 Ekim 2015
Hocam ben bir seyi anlayamadım cok
Basit bir sey ama. Mesela seksen bes faktöriyel in sonundaki 0 lar icin seksen besi , bes e böldük ama biz seksen bes 'faktöriyel' deki besleri aramiyor muyuz??
admin: zaten 85 faktöriyel dediği için böyle bir yöntem uyguluyoruz. yoksa 85 in sonunda zaten 0 yok.
Ayşegül
Ayşegül
20 Ekim 2015
(n-4)!+(4-n)!+2n! ÷2=?
Admin: sorularinizi soru sor bolumune yaziniz. Bu soruda
n=4 tür
Büşra
Büşra
24 Ekim 2015
Hocam faktöriyelin üslü eşitinde en büyük kuvvet bulmayi anlatmissiniz ama alabileceği değerler toplami derse ne yapmak lazim
admin:faktöriyel konusu 6. örnekte en küçük ve en büyük değerler bulunmuş. bu değerler arasındaki değerleri toplamak gerekir.
ceylan
ceylan
06 Kasım 2015
tekskkurler harıka bı yermıs
nazlı
nazlı
12 Kasım 2015
Sorularımı çözebilirmisiniz :)
Admin:Sorularinizi soru sor bolumune yazarsanız çözülecektir.
Kubra
Kubra
29 Kasım 2015
Allah razı olsun hocam
Serra
Serra
08 Aralık 2015
HARİKA OLMUŞ tamda aradığımı buldum siteniz iyiymiş!!!
Mustafa
Mustafa
19 Aralık 2015
Arkadaslar yardimci olabilir misiniz bu soruyu cözemedim n! - 1sayısının sondan 6 basamağı 9 olduğuna göre, n`nin alabileceği degerler toplami kactir. simdiden teşekkürler.
Admin: sorularinizi soru sor bölümüne yaziniz
Ozan
Ozan
31 Aralık 2015
Cok teşekkür ederim hocam cok sagolun
Okan
Okan
25 Ocak 2016
Eyw. hoca adamsın 😉
cem
cem
05 Şubat 2016
93!_2 sayisinin sondan kac basamagi 8dir
Admin:Sorularınızı soru sor bölümüne yazınız.
(93! in sonunda sıfırlar olduğunu biliyoruz. 2 sayısını çıkarırsak son basamak 8 olur.)
İbrahim
İbrahim
15 Şubat 2016
Hocam öncelikle çok teşekkür ederim lâkin 12. Soru sıkıntılı gibi.Farklı
kaynak kitaplarında bu şekilde belirtilmemiş.
Admin: Sıkıntılı olan kismi yazarsanız inceleriz. Ya da farklı kaynaklardan cozum yollarsaniz inceler kritik ederiz.

Batuhan
Batuhan
16 Şubat 2016
Emeğinize sağlık gerçekten çok faydalı oldu.
emine
emine
19 Şubat 2016
Çok faydalı olmuş
beytul
beytul
24 Şubat 2016
hocam Allah razı olsun çok iyi anladım :)
Yusuf
Yusuf
28 Şubat 2016
Teşekkür ederim
alper
alper
28 Şubat 2016
9 ve 10. sorularda neden farklı yol izledik
Admin: 26! in de sondan 6 basamağı sifirdir 25! in de.
Ama sondan 7. basamaktaki sayilar toplamının da sıfır yapma durumu var.
Bunu anlamak için böyle son basamakları aynı sayıda sıfır olan sorularda ortak paranteze alip bu durum incelenir.
Hassen
Hassen
03 Mart 2016
Çok sağolun cidden çok iyi
madam absurd
madam absurd
04 Mart 2016
Cok guzel saolun
ali huseyin karcı
ali huseyin karcı
05 Mart 2016
soruları burdan çözdüm
egzö
egzö
15 Mart 2016
bu site gerçekten aradığım gibi.teşekküür ederim.Çook sağolun
ofof
ofof
19 Mart 2016
süper kardeşim bura
sümeyye
sümeyye
28 Mart 2016
Bu ne biçim konu çok saçma
M.Tekin
M.Tekin
06 Mayıs 2016
Çok iyi hazırlamışşsınız sağolun
Murat gemsiz
Murat gemsiz
22 Mayıs 2016
Kaç gündür başım ağrımıştı allah bin kere razı olsun.
tugba
tugba
31 Mayıs 2016
istediğim açıklamayı buldum sonunda tesekkrler
Kürşat
Kürşat
20 Haziran 2016
Verimli oldu. Teşekkürler
YURİ
YURİ
29 Haziran 2016
ALLAH RAZI OLSUN GARDAŞ
NEŞEKKÜR
NEŞEKKÜR
29 Haziran 2016
NEŞEKKÜR EDER SİZE TEŞEKKÜR
Papatya
Papatya
15 Temmuz 2016
Allah razi olsun sağolun :)
mehmet uğur
mehmet uğur
29 Temmuz 2016
çok teşekkür ederim sağolun
Admin: rica ederim
mathmath
mathmath
26 Ağustos 2016
muthis olmus
buse
buse
26 Eylül 2016
çoookkkkk güzel bayıldım mütiş👍👍👍
nursena
nursena
30 Eylül 2016
saolun çok güzel olmuş bide sorularımız aynı gün çözülebilirmi
nursena
nursena
30 Eylül 2016
saolun çok güzel olmuş bide sorularımız aynı gün çözülebilirmi
şeyma
şeyma
05 Ekim 2016
çok beğendim hep yanında hoca bulundurmak nasıl hissetiriyorsa öyle ama daha da iyisi...
duru
duru
08 Ekim 2016
güzell olmuşş
emre
emre
09 Ekim 2016
wery wery good
Ali hakan
Ali hakan
15 Ekim 2016
Çok saol çok işime yaradı.
Zehra
Zehra
17 Ekim 2016
Supersiniz
Zehra
Zehra
17 Ekim 2016
Hicam cok isime yaradi
Irem
Irem
17 Ekim 2016
Cok isime yaradi
Irem
Irem
17 Ekim 2016
Cok isime yaradi
Allah razı olsun
İpek
İpek
19 Ekim 2016
Saolun hocam yardımcı oldunuz
sezgin
sezgin
20 Ekim 2016
hocam iyi değildi ya
omer
omer
23 Ekim 2016
k.b benim anlamdigim orenek iki 8!(9+1) ifadesindeki 1 nereden geldi hocam??
berçem
berçem
24 Ekim 2016
Hocan gerçekten anladım. Saolun
nimet
nimet
25 Ekim 2016
rezalet kötü
shdjfhhthehvjtbcbgo
shdjfhhthehvjtbcbgo
25 Ekim 2016
harika inanılmaz
gorkem yildiz
gorkem yildiz
08 Kasım 2016
cok tesekkurler tam olarak anladim
irem su
irem su
11 Kasım 2016
çooooooook güzel bence
Sjssjsj
Sjssjsj
07 Aralık 2016
Eyvallah sorular müthiş. ..😉
Faruk
Faruk
14 Aralık 2016
Eyvallah hocam allah razı olsun
ÖMÖMÖÖM
ÖMÖMÖÖM
21 Aralık 2016
GOZEL BE GOZEL
Bahadır Nacar
Bahadır Nacar
2 hafta önce
Allah razı olsun çok güzel örneklendirmeler yapmışsınız.Konuyu anladım sayenizde

Yorum Yapın

Adınız:
Mesajınız:
 
© 2015 Matematik Sorusu