Şimdiye kadar bildiğimiz en geniş küme reel sayı kümesiydi. Şimdi reel sayıları da kapsayan bir küme ile tanışalım. Karmaşık Sayılar kümesi. C ile gösterilen bu küme,

 , ,   formatındadır.

Burada a sayısına reel (gerçek) kısım denir ve Re(z) ile gösterilir.

 b sayısına da sanal (imajiner kısım) denir ve Im(z) ile gösterilir.

Örnek:

Z=2+3i karmaşık sayısının reel kısmı Re(z)=2 ve imajiner kısmı Im(z)=3 tür.

Z=5-2i karmaşık sayısında Re(z)=5 ve Im(z)=-2,

Z=i karmaşık sayısında Re(z)=0 ve Im(z)=1,

Z=7 karmaşık sayısında Re(z)=7 ve Im(z)=0 olur.

 olmak üzere,

               olur. Buradan hareketle i nin tüm kuvvetleri bu dört sayıdan birine denk olur deriz.

Örnek1:

Çözüm: Üsleri 4 e bölüp kalanlara bakarız.

34 ü 4 e böldüğümüzde kalan 2 olduğundan  ,

101 i 4 böldüğümüzde kalan 1 olduğundan  ,

2016 yı  4 e böldüğümüzde kalan 0 olduğundan  olur.

Toplam da  olarak bulunur.

Örnek2:  olmak üzere,

Çözüm: Bu gibi üsleri ardışık olarak verilen i nin kuvvetlerinin ilk 4 terimi ve son terimi hesaplanır.

 ve  olduğundan sorumuz,

 haline döner. İlk 4 terimin toplamının sıfır olduğunu görüyoruz. Bundan sonraki her 4 terim toplamı da sıfır olur. Ama son terim i sayısında kalmış yani 4 lü terim oluşturmamış o yüzden sıfır olmaz. Geriye kalan ilk 4 terimdeki i ve ondan önceki terimlerdir. Yani 'i+1+i kalır. Sonuç da 1 olarak bulunur.

Örnek3:  ise,

 ve  olduğundan sorumuz,

 haline döner.

İlk 4 terim toplamı sıfır olur.  Bundan sonraki her 4 terim toplamı sıfır olur. En son geri kalan terim i ve ondan önceki terimler olur.  i den önceki terimler olmadığından cevap sadece i olur.

Örnek4:  ve n doğal sayı olsun.

 toplamının  sonucu kaçtır?

Çözüm: 4n ifadesi 4 ün katı anlamına geldiğinden, 4n+2 yi 4 e böldüğümüzde kalan 2 olur.

Aynı şekilde 8n+1 ifadesinin 4 e bölümününden kalan 1 olur. Aynı mantıkla devam edersek 12n+3 ifadesinin 4 e bölümünden kalan 3 olur. Sonuç,

 olur.

İki karmaşık sayı,  ve  olsun.

 ve  olur. Yani reel kısımlar birbirine eşit ve sanal kısımlar da birbirine eşit olur.

Örnek5:    ve  olduğuna göre x ve y değerlerini bulalım.

 eşitliğinde,

 eşitliğin sol tarafındaki reel kısım olan 2, sağ taraftaki reel kısım olan y sayısına eşittir ve y=2 bulunur.

eşitliğin sol tarafındaki sanal kısım olan '(x+1), sağ tarafın sanal kısmı olan 5 sayısına eşittir. Buradan da,

-(x+1)=5 ve x=-6 bulunur.

 karmaşık sayısının eşleniği  olur.

 Dikkat: Sanal kısım işaret değiştiriyor. Noktanın x eksenine göre simetrisi alınır.

Örnek6: Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniğini bulalım,

 ise                                                                  ise

 ise                                                              ise

 ise                                                                                ise  olur.

Özellikler:

1)

2)  ,

3)

4)

Örnek7:  ve  ise

=

Özellik:  ise    olur.

Örnek8:

Örnek9:

 ve  olduğundan,

 ve

 olur.

 Sonuç olur.

Z=a+ib olan bir karmaşık sayının orjine olan uzaklığı şekilden de görüldüğü üzere Pisagor yapmak demektir.

Örnek10:

ÖZELLİKLER:

Örnek11:   ise

Örnek12:   ise 

3-4-5, 6-8-10, 5-12-13 kenarlarını kullanabiliriz.

ÖSS Sorusu:  eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.

 olsun.  olur.

+a+ib=3-2i   ise  ve  olur.

Buradan b=-2 bulunur.  ifadesinde b=-2 yazarsak ,

  her iki tarafın karesini alalım,

 ve   bulunur. z karmaşık sayısı da  bulunur.