KARMAŞIK SAYILAR 1

Şimdiye kadar bildiğimiz en geniş küme reel sayı kümesiydi. Şimdi reel sayıları da kapsayan bir küme ile tanışalım. Karmaşık Sayılar kümesi. C ile gösterilen bu küme,

 ,  formatındadır.

Burada a sayısına reel (gerçek) kısım denir ve Re(z) ile gösterilir.

 b sayısına da sanal (imajiner kısım) denir ve Im(z) ile gösterilir.

 

Örnek:

Z=2+3i karmaşık sayısının reel kısmı Re(z)=2 ve imajiner kısmı Im(z)=3 tür.

Z=5-2i karmaşık sayısında Re(z)=5 ve Im(z)=-2,

Z=i karmaşık sayısında Re(z)=0 ve Im(z)=1,

Z=7 karmaşık sayısında Re(z)=7 ve Im(z)=0 olur.

 

İ' nin kuvvetleri

 olmak üzere,

               olur. Buradan hareketle i nin tüm kuvvetleri bu dört sayıdan birine denk olur deriz.

NOT:  olur.  Yani üssü 4 ten büyük olan ifadeleri 4 e bölüp kalanı alırız. (bkz modüler aritmetik)

Mesela,  sayısını bulmak için 34 ü 4 e böleriz. Kalan 2 olduğundan  olur deriz.

 

 

 

Örnek1:

Çözüm: Üsleri 4 e bölüp kalanlara bakarız.

34 ü 4 e böldüğümüzde kalan 2 olduğundan  ,

101 i 4 böldüğümüzde kalan 1 olduğundan  ,

2016 yı  4 e böldüğümüzde kalan 0 olduğundan  olur.

Toplam da  olarak bulunur.

 

Örnek2:  olmak üzere,

Çözüm: Bu gibi üsleri ardışık olarak verilen i nin kuvvetlerinin ilk 4 terimi ve son terimi hesaplanır.

 ve  olduğundan sorumuz,

 haline döner. İlk 4 terimin toplamının sıfır olduğunu görüyoruz. Bundan sonraki her 4 terim toplamı da sıfır olur. Ama son terim i sayısında kalmış yani 4 lü terim oluşturmamış o yüzden sıfır olmaz. Geriye kalan ilk 4 terimdeki i ve ondan önceki terimlerdir. Yani 'i+1+i kalır. Sonuç da 1 olarak bulunur.

 

Örnek3:  ise,

 ve  olduğundan sorumuz,

 haline döner.

İlk 4 terim toplamı sıfır olur.  Bundan sonraki her 4 terim toplamı sıfır olur. En son geri kalan terim i ve ondan önceki terimler olur.  i den önceki terimler olmadığından cevap sadece i olur.

 

Örnek4:  ve n doğal sayı olsun.

 toplamının  sonucu kaçtır?

Çözüm: 4n ifadesi 4 ün katı anlamına geldiğinden, 4n+2 yi 4 e böldüğümüzde kalan 2 olur.

Aynı şekilde 8n+1 ifadesinin 4 e bölümününden kalan 1 olur. Aynı mantıkla devam edersek 12n+3 ifadesinin 4 e bölümünden kalan 3 olur. Sonuç,

 olur.

 

İki Karmaşık sayının eşitliği

İki karmaşık sayı,  ve  olsun.

 ve  olur. Yani reel kısımlar birbirine eşit ve sanal kısımlar da birbirine eşit olur.

 

Örnek5:    ve  olduğuna göre x ve y değerlerini bulalım.

 eşitliğinde,

 eşitliğin sol tarafındaki reel kısım olan 2, sağ taraftaki reel kısım olan y sayısına eşittir ve y=2 bulunur.

eşitliğin sol tarafındaki sanal kısım olan '(x+1), sağ tarafın sanal kısmı olan 5 sayısına eşittir. Buradan da,

-(x+1)=5 ve x=-6 bulunur.

 

KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 karmaşık sayısının eşleniği  olur.

 Dikkat: Sanal kısım işaret değiştiriyor. Noktanın x eksenine göre simetrisi alınır.

 

Örnek6: Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniğini bulalım,

 ise                                                                  ise

 ise                                                              ise

 ise                                                                                ise  olur.

 

Özellikler:

1)

2)  ,

3)

4)

 

Örnek7:  ve  ise

=

 

Özellik:  ise    olur.

 

Örnek8:

               

 

Örnek9:

 ve  olduğundan,

 ve

 olur.

 Sonuç olur.

 

Bir Karmaşık Sayının Modülü (normu, uzunluğu, mutlak değeri, başlangıç noktasına olan uzunluğu)

Z=a+ib olan bir karmaşık sayının orjine olan uzaklığı şekilden de görüldüğü üzere Pisagor yapmak demektir.

 

 

                              

 

 

 

 

 

Örnek10:

 

ÖZELLİKLER:

Örnek11:   ise

 

Örnek12:   ise 

3-4-5, 6-8-10, 5-12-13 kenarlarını kullanabiliriz.

 

ÖSS Sorusu:  eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.

 olsun.  olur.

+a+ib=3-2i   ise  ve  olur.

Buradan b=-2 bulunur.  ifadesinde b=-2 yazarsak ,

  her iki tarafın karesini alalım,

 ve   bulunur. z karmaşık sayısı da  bulunur.

 

 

Yapılan Yorumlar

duygu
duygu01 Mayıs 2016

Soru olsa cozumu biz yapsak daha iyi ve ben bu konuyu cok seviyorum
Admin: ilginiz icin tesekkur ederim. Yeni bir siteyiz aklimizda o da var. Form da acacagiz ama yogunluktan bu donem yetistiremedik.

aleyna elif
aleyna elif12 Kasım 2017

çok iyiii yaaaa

Dicle
Dicle19 Mart 2018

Bu siteyi cok sevdim tam bizim aradigimiz sekilde olmus kisa ve anlasilir sekilde cok tesekkurler

Murat Hoca
Murat Hoca03 Mayıs 2020

Çok beğendim. Teşekkürler.

Gizli
Gizli3 hafta önce

Gerçekten tam bir yks öğrencisine anlatır düzeyde. Çok beğendim siteyi. Tekrardan teşekkürler.

Yorum Yapın

Güvenlik Kodu
Popüler Sayfalar:
Son Ziyaretler:
Coğrafya Sitesi Tarih Sitesi