TANIM: a,b,c gerçek sayı ve  olmak üzere

=0 denklemine 2. Dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Örnek1:  denklemi 2. Dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ise a+b kaçtır?

Çözüm: Denklem 2. Dereceden ise lü  terimin olmaması gerekir.  Bunun için lü terimin katsayısını sıfıra eşitlemek gerekir.    a-2=0 ve a=2 bulunur.

2. derece olması için  li terim olması gerektiğinden  b+4=2 ve b=-2 bulunur.

a+b=2+(-2)=0 bulunur.

Örnek2(örnek1 in benzeri):  denklemi 2. Dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ise b değerleri toplamı kaçtır?

Çözüm: lü terimin olmaması gerektiğini biliyoruz.  a-2=0 ise a=2 bulunur. 2. derece olması için gerekli olan terim zaten mevcut. . O halde  teriminin kuvvetinin 2 olma zorunluluğu yok. Bu yüzdendir ki b=0,1,2 değerlerini alabilir.(Dikkat: b değerleri negatif değerler almaz. Alırsa 2. Derece denklem olmaz)

 yani b değerleri toplamı  0+1+2=3 olur.

 , =0 denkleminin kökleri  ve olsun.

 olmak üzere

  ve   dır.

Örnek3:  denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm: a=1, b=-3 ve c=1 olur.

 ise   ve

 ise   olur.

Örnek4:  denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:

 ise

 ise

NOT:=0 denkleminde

 ise farklı iki kök vardır.

 ise reel kök yoktur.

 ise eşit iki vardır. (çift kat kök vardır, çözüm kümesi 1 elemanlı, ifade tam kare şeklinde de verilebilir)

Örnek5:  denkleminin farklı iki kökü varsa m için ne söylenir?

Çözüm: Farklı iki kökü varsa  olmalı.

 ve  olur.

Örnek6:  denkleminin eşit iki kökü varsa m değerleri çarpımı kaçtır?

Çözüm: ve  olur.

Değerler çarpımı da   bulunur.

Örnek7:  denkleminin iki kökü varsa m için ne söylenir?

Çözüm: Bu soruda dikkat edilmesi gereken nokta iki kökün olduğu söyleniyor, köklerin farklı olduğunu söylemiyor.

O halde köklerin eşit olma durumunu da göz önünde bulundurmak gerekiyor. Yani  olmalı.

 ,   buradan da veya  çıkar. (bkz mutlak değer 2)

Örnek8: denkleminin reel kökü olmadığına göre m için ne söylenir?

Çözüm: Reel kökü yoksa  olmalı.

, düzenlersek  ve  bulunur.

Örnek9:  denkleminin bir kökü 2 ise a kaçtır?

Çözüm: Kök denklemi sağlayacağından x=2 değerini denklemde yerine  yazalım.

 ve buradan da  bulunur.

Örnek10:  denkleminin kökleri  ve  dir. Buna göre,

 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: İfadenin köklerini  yöntemi ile bulup yerine yazarsak çok zahmetli bir yol olur. Dikkatli incelersek istenen ifade ile verilen denklem birbirine benziyor. Kökleri denklemde yazarsak,

 ve  elde ederiz. Yani  ve  elde ederiz.

Bunları istenen ifadede yerine yazarsak,

 elde ederiz.

Örnek11: denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:  ifadesine  dersek  denklem,  haline dönüşür.  Çarpanlarına ayıralım.

 (çarpımları +5, toplamları -6 olan iki sayı -1 ve -5 tir.)

Kökler de a=1 ve a=5 bulunur. Biz  ifadesine a demiştik. Şimdi bulduğumuz  a değerlerini  e eşitleyelim.

 ve  bulunur. Çözüm kümesi  bulunur.

Örnek12:   denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:  olsun. Denklem  haline dönüşür. Çarpanlarına ayıralım (çarpımları 12 ve toplamları -8 olan sayılar -6 ve -2 dir)

 olur.  Kökler de a=6 ve a=2 dir.   ifadesini 6 ve 2 ye eşitleyelim.

 ve ,

 ve   bulunur.

Kökler de  olarak bulunur.

! Köklü denklemlerde köklü ifadeyi ortadan kaldırmak için köklü ifadenin kuvveti alınır. Dikkat edilmesi gereken nokta, bulunan köklerin denklemde yerine yazılıp ifadeyi sağlayıp sağlamadığına dikkat etmektir. Çünkü kuvvet alındıktan sonra denklemi sağlamayan yeni kökler türeyebilir.

Örnek13:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  ifadesini çarpanlarına ayıralım

ve  bulunur.

Buradan sonrası daha önemli , x=0 değerini denklemde yazarsak, olur yani x=0 değeri denklemi sağlamaz. x=6 değerinin sağladığı görülür. Çözüm kümesi  bulunur.

Örnek14:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:her iki tarafın karesini alalım

,

,   yine her iki tarafın karesini alalım

 bulunur.

Örnek15:  denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:Bu gibi sorularda mutlak değerin içini sıfır yapan değere (kritik nokta) göre yorum yapılır. (bkzmutlak değer 2 örnek5)

 içini sıfır yapan  değer x=0 olduğundan 1)  ve 2)  için inceleme yapılır.

1) için mutlak değerin içi olduğu gibi dışarı çıkacağından denklem,

haline dönüşür. Kökleri de x=4ve x=-3 bulunur. Ama biz  kabul ettiğimizden x=4 alınır.

1)  için mutlak değerin içi işaret değiştireceğinden  denklem,

 haline dönüşür. Kökleri de  x=-4 ve x=3 bulunur. Ama biz  kabul ettiğimizden x=-4 alınır.

Dolayısıyla çözüm kümesi  bulunur.

Örnek16:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: örnek15 teki soruyla aynı mantığı kullanalım.

 sağlayan değer  olduğundan

1)  için  bulunur.   kabul ettiğimizden x=2 köktür.

2)  için bulunur.   kabul ettiğimizden x=0 köktür.

Çözüm kümesi  bulunur.

Örnek17:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  haline getirelim. Burada önemli olan nokta ifadeyi  parantezine almaktır.

!Eğer her iki taraftan  ifadesini sadeleştireceksek de  ifadesini unutmamak gerekir. Çünkü her sadeleştirme kök yok etmek demektir.

 ise olarak bulduğumuz kökü bir kenara yazalım.

Geriye  kalır. Buradan  ve  bulunur.

Çözüm kümesi de olarak bulunur.