2.DERECEDEN DENKLEMLER

TANIM: a,b,c gerçek sayı ve  olmak üzere

=0 denklemine 2. Dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 

Örnek1:  denklemi 2. Dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ise a+b kaçtır?

Çözüm: Denklem 2. Dereceden ise lü  terimin olmaması gerekir.  Bunun için lü terimin katsayısını sıfıra eşitlemek gerekir.    a-2=0 ve a=2 bulunur.

2. derece olması için  li terim olması gerektiğinden  b+4=2 ve b=-2 bulunur.

a+b=2+(-2)=0 bulunur.

 

Örnek2(örnek1 in benzeri):  denklemi 2. Dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ise b değerleri toplamı kaçtır?

Çözüm: lü terimin olmaması gerektiğini biliyoruz.  a-2=0 ise a=2 bulunur. 2. derece olması için gerekli olan terim zaten mevcut. . O halde  teriminin kuvvetinin 2 olma zorunluluğu yok. Bu yüzdendir ki b=0,1,2 değerlerini alabilir.(Dikkat: b değerleri negatif değerler almaz. Alırsa 2. Derece denklem olmaz)

 yani b değerleri toplamı  0+1+2=3 olur.

 

2. DERECE DENKLEMİN KÖKLERİNİ BULMA

 , =0 denkleminin kökleri  ve olsun.

 olmak üzere

  ve   dır.

 

Örnek3:  denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm: a=1, b=-3 ve c=1 olur.

 ise   ve

 ise   olur.

 

Örnek4:  denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:

 ise

 ise

 

NOT:=0 denkleminde

 ise farklı iki kök vardır.

 ise reel kök yoktur.

 ise eşit iki vardır. (çift kat kök vardır, çözüm kümesi 1 elemanlı, ifade tam kare şeklinde de verilebilir)

 

Örnek5:  denkleminin farklı iki kökü varsa m için ne söylenir?

Çözüm: Farklı iki kökü varsa  olmalı.

 ve  olur.

 

Örnek6:  denkleminin eşit iki kökü varsa m değerleri çarpımı kaçtır?

Çözüm: ve  olur.

Değerler çarpımı da   bulunur.

 

Örnek7:  denkleminin iki kökü varsa m için ne söylenir?

Çözüm: Bu soruda dikkat edilmesi gereken nokta iki kökün olduğu söyleniyor, köklerin farklı olduğunu söylemiyor.

O halde köklerin eşit olma durumunu da göz önünde bulundurmak gerekiyor. Yani  olmalı.

 ,   buradan da veya  çıkar. (bkz mutlak değer 2)

 

Örnek8: denkleminin reel kökü olmadığına göre m için ne söylenir?

Çözüm: Reel kökü yoksa  olmalı.

, düzenlersek  ve  bulunur.

 

Örnek9:  denkleminin bir kökü 2 ise a kaçtır?

Çözüm: Kök denklemi sağlayacağından x=2 değerini denklemde yerine  yazalım.

 ve buradan da  bulunur.

 

Örnek10:  denkleminin kökleri  ve  dir. Buna göre,

 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: İfadenin köklerini  yöntemi ile bulup yerine yazarsak çok zahmetli bir yol olur. Dikkatli incelersek istenen ifade ile verilen denklem birbirine benziyor. Kökleri denklemde yazarsak,

 ve  elde ederiz. Yani  ve  elde ederiz.

Bunları istenen ifadede yerine yazarsak,

 elde ederiz.

 

2.DERECEYE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEM ÇÖZÜMLERİ

Örnek11: denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:  ifadesine  dersek  denklem,  haline dönüşür.  Çarpanlarına ayıralım.

 (çarpımları +5, toplamları -6 olan iki sayı -1 ve -5 tir.)

Kökler de a=1 ve a=5 bulunur. Biz  ifadesine a demiştik. Şimdi bulduğumuz  a değerlerini  e eşitleyelim.

 ve  bulunur. Çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek12:   denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:  olsun. Denklem  haline dönüşür. Çarpanlarına ayıralım (çarpımları 12 ve toplamları -8 olan sayılar -6 ve -2 dir)

 olur.  Kökler de a=6 ve a=2 dir.   ifadesini 6 ve 2 ye eşitleyelim.

 ve ,

 ve   bulunur.

Kökler de  olarak bulunur.

 

KÖKLÜ DENKLEMLER

! Köklü denklemlerde köklü ifadeyi ortadan kaldırmak için köklü ifadenin kuvveti alınır. Dikkat edilmesi gereken nokta, bulunan köklerin denklemde yerine yazılıp ifadeyi sağlayıp sağlamadığına dikkat etmektir. Çünkü kuvvet alındıktan sonra denklemi sağlamayan yeni kökler türeyebilir.

 

Örnek13:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  ifadesini çarpanlarına ayıralım

ve  bulunur.

Buradan sonrası daha önemli , x=0 değerini denklemde yazarsak, olur yani x=0 değeri denklemi sağlamaz. x=6 değerinin sağladığı görülür. Çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek14:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:her iki tarafın karesini alalım

,

,   yine her iki tarafın karesini alalım

 bulunur.

 

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Örnek15:  denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:Bu gibi sorularda mutlak değerin içini sıfır yapan değere (kritik nokta) göre yorum yapılır. (bkzmutlak değer 2 örnek5)

 içini sıfır yapan  değer x=0 olduğundan 1)  ve 2)  için inceleme yapılır.

1) için mutlak değerin içi olduğu gibi dışarı çıkacağından denklem,

haline dönüşür. Kökleri de x=4ve x=-3 bulunur. Ama biz  kabul ettiğimizden x=4 alınır.

1)  için mutlak değerin içi işaret değiştireceğinden  denklem,

 haline dönüşür. Kökleri de  x=-4 ve x=3 bulunur. Ama biz  kabul ettiğimizden x=-4 alınır.

Dolayısıyla çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek16:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: örnek15 teki soruyla aynı mantığı kullanalım.

 sağlayan değer  olduğundan

1)  için  bulunur.   kabul ettiğimizden x=2 köktür.

2)  için bulunur.   kabul ettiğimizden x=0 köktür.

Çözüm kümesi  bulunur.

 

Örnek17:  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  haline getirelim. Burada önemli olan nokta ifadeyi  parantezine almaktır.

!Eğer her iki taraftan  ifadesini sadeleştireceksek de  ifadesini unutmamak gerekir. Çünkü her sadeleştirme kök yok etmek demektir.

 ise olarak bulduğumuz kökü bir kenara yazalım.

Geriye  kalır. Buradan  ve  bulunur.

Çözüm kümesi de olarak bulunur.

 

Yapılan Yorumlar

dfgy
dfgy16 Mayıs 2015

süperrrrrrrrr......,,,,,,,,,,,,,****************************

ali kozan
ali kozan28 Mayıs 2015

ALLAH sizden razı olsun 2 saattir böyle bir şey arıyordum teşekkürler

elif
elif09 Kasım 2015

süper son derece

ilknur
ilknur19 Aralık 2015

4 saat oldu arıyordum sizde buldum eyv saolun :)

sdfdf
sdfdf27 Aralık 2015

Ben şu sonda ki soruyu anlamadım, |x-4|=1 nasıl oldu? Yani o 1 nereden geldi?
Admin: Eşitliğin her iki yanından |x-4| ifadesini sadelestirdik.

nil
nil02 Şubat 2016

Çok güzel olmuş bende böyle arıyodum teşekkürler

rıdvan
rıdvan14 Mart 2016

elleriniz dert görmesin harika olmuş gerçekten

aliye
aliye15 Mart 2016

Süpersiniz

egzö
egzö 15 Mart 2016

anlatım iyi bu konuyu çok seviyorum.

yağmur
yağmur16 Mart 2016

Allah razı olsun çok güzel sorular

pınar
pınar 20 Mart 2016

teşekkürler proje ödevimdi iyi not alırım inşalla
hinşallah

pınar
pınar 20 Mart 2016

Allah razı olsun 100 alırım inşallah

bengisu
bengisu22 Mart 2016

bayıldım elerinize sağlık güzeldi... beğenmeyene : / : / beğenene :D :D

beyza
beyza29 Mart 2016

Supersiniz

seda
seda01 Nisan 2016

Muhtesemmmmmm

murtaza
murtaza04 Nisan 2016

güzel sorular

Melike
Melike12 Nisan 2016

Teşekkürlerrrrrrrrrrrrrrrr☺☺☺

Miray
Miray18 Nisan 2016

Teşekkürler sağ olun
Admin: siz de sağolun

sevgi
sevgi20 Nisan 2016

Sağ olun teşekkür ettim

Emre Burak AYTEKIN
Emre Burak AYTEKIN25 Haziran 2016

Emek harcayanların geçmişlerinin canına değsin elleri dert görmesin yapamadığım soruları sular seller gibi yapıyorum şimdi. .d

Hatice nur
Hatice nur 01 Kasım 2016

Allah razı olsun sizin sayenizde buldum

Sevda
Sevda14 Aralık 2016

Matimatikverimlütfen

medeni
medeni15 Aralık 2016

Süpersinizzzzzzzzzz

hayt
hayt23 Aralık 2016

Teşekûrler baya isime yaradı órnekler.

Ismail
Ismail24 Aralık 2016

Harikaaaaaaaaaa

Gamzenur
Gamzenur02 Ocak 2017

Çoook teşekkür😊😊😊

Gamzenur
Gamzenur02 Ocak 2017

Çoook teşekkür ederim beş dakikada ödevim bitti😊😊😊

Yasmin
Yasmin03 Şubat 2017

Bende beģendim 😴😪😍😍😍😍😍😍😍😍

Yasmin
Yasmin03 Şubat 2017

Bende beģendim 😴😪😍😍😍😍😍😍😍😍

MineDilan
MineDilan01 Mart 2017

Teşekkürler......

nihat
nihat03 Nisan 2017

köklerle ilgili daha çok olsa süper olur ::::::.

Hülya
Hülya05 Aralık 2017

çok sağolun tesekkür ederim

ayla
ayla05 Aralık 2017

allah razı olsun sağolun

Bts❤
Bts❤09 Aralık 2017

Çok güzel olmus. Çok begendim😊👌🖒

AHMET
AHMET 10 Şubat 2018

İŞİME YARADI TEŞEKKÜRLER

Kadri
Kadri05 Mart 2018

İşime yaradı çok teşekkürler

Mila
Mila09 Nisan 2018

Biraz daha açık olsaydı keşke

Büşra
Büşra28 Mayıs 2018

Müthiş bayıldım ama keşke örnekler çok olsaydi

Büşra
Büşra28 Mayıs 2018

Müthiş 😍😍😍😍😍😍😍 kesin 100 alırım bu kesin çok tşk

Yorum Yapın

Güvenlik Kodu
Popüler Sayfalar:
Son Ziyaretler:
Coğrafya Sitesi Tarih Sitesi