Tanım: 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına 'n faktöriyel' denir ve  n!  şeklinde gösterilir.

.n!=1.2.3........(n-1).n                          .0!=1 ve 1!=1 dir.

Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120,  4!=4.3.2.1=24,  6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

Not: 6!=6.5.4.3.2.1 dir. 5!=5.4.3.2.1 olduğundan 6!=6.5! şeklinde yazılır. Genelleştirirsek,

.n!=n.(n-1)!   veya  n!=n(n-1).(n-2)! Şeklinde yazılabilir.

 

Uyarı: Faktöriyeli tek sayı olan sayılar 0 ve 1 dir. (0!=1 ve 1!=1) bu sayıların dışında kalan sayıların faktöriyeli çifttir. Çünkü 2 den itibaren tüm sayıların faktöriyellerinde en az bir çift sayı vardır.

 

Örnek1:  ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: Büyük olan sayıyı küçük olan sayıya benzetmek gerekir.

10!=10.9.8! ,  11!=11.10! şeklinde yazılırsa,  elde edilir.

 

Örnek2: 8!=a ise 8!+9! İfadesinin a türünden eşiti kaçtır?

Çözüm: 9! İfadesini 9.8! şeklinde yazıp 8! parantezine alırsak

8!+9!=8!+9.8!=8!(1+9)=8!.10=a.10 bulunur.

 

Örnek3: 2!+4!+6!+.................+150!  işleminin son basamağı kaçtır?

Çözüm3: Son basamağı istiyorsa mutlaka işin içinde son basamakları sıfır olan sayılar vardır.

2!=2, 4!=24, 5!=120, 6!=720 ............dikkat edilirse 5! den sonraki her sayının faktöriyelinin son basamağında sıfır vardır. Dolayısıyla son basamak,  sıfır dışında kalan sayılar tarafından belirlenir. Yani 2!+4!=2+24=26  nın son basamağı olan 6 cevabımızdır.

 

 formatındaki soru tarzı:

 

Örnek4: x,k pozitif tam sayı ise   ifadesinde x en çok kaçtır?

12!=12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1  ifadesinde kaç tane 2 çarpanı vardır diye soruluyor. 12 nin içinde 2 tane , 10 nun içinde 1 tane , 8 in içinde 3 tane ,6 nın içinde 1 tene , 4 ün içinde 2 tane  ve 2 nin içinde de 1 tane 2 çarpanı vardır. Toplamda da 2+1+3+1+2+1=10 tane 2 çarpanı vardır.

Ne yaptığımızı anladıysak daha kısa sürsün diye 12 yi 2 ye bölelim sonra bölümü tekrar 2 ye bölelim, böylece devam etsin. En sonunda da bölümleri toplarsak yine aynı sonuca ulaşırız.

 

                               6+3+1=10

 

 

 

 

 

 

 

Örnek5:  x ve y doğal sayılar.   sağlayan  en büyük x sayısı kaçtır?

Çözüm: DİKKAT! İlk bilmemiz gereken nokta  ifadesinde a nın asal sayı olması gerektiğidir. Eğer asal değil ise asal çarpanlarına ayrılmalı.

 haline dönüşmeli. Örnek4 teki gibi 12 yi 2 ye bölelim.

buradaki 10 sayısını 2 nin kuvvetine eşitlersek 10=3x ifadesinde x tam sayı çıkmaz ama biz x i 3 alacağız. (tam bölünmesi gerekmiyor bölümü alırız.)

 

 

 

 

 

Örnek6: a ve b pozitif tam sayılar.  sağlayan,

a)en büyük a sayısı kaçtır?

b)en küçük a sayısı kaçtır?

c)kaç farklı a sayısı vardır?

Çözüm6: a)10 sayısı asal sayı olmadığı için asal çarpanlarına ayıralım. 10=2.5

 

5 için a en çok 7+1=8,

2 için x en çok 17+8+4+2+1=32 oluyor. Kuvveti az olan 8 bizim cevabımızdır. Neden mi?

 

 

 

Elinizde 8 tane 5, ve 32 tane 2 varsa kaç tane 10 elde edebilirsiniz? 8 tane 5 ve 8 tane 2 yi bağlarsınız 8 tane 10 elde edersiniz. Daha fazla 10 elde etmek için elinizde 5 kalmadı değilmi.

Dikkat! Bu yüzdendir ki üsleri eşit ifadeler varken büyük olan çarpana bölmemiz yeterli olur.

b)En küçük değer a sayısının nasıl tanımlandığı ile ilgilidir. Soru kökünde a sayısının pozitif tam sayı olduğu söyleniyor.  En küçük pozitif tam sayı 1 olduğundan a en az 1 dir. (!a için doğal sayı deseydi en az a=0 alınırdı.)

c) a en az 1, en çok 8 bulunduğuna göre a sayısı 1 ile 8 arasındaki (1 ve 8 dahil) her değeri alabilir.

O halde cevabımız 8 olur.

 

Örnek7:  k ve m doğal sayılar. ifadesinde k en çok kaçtır?

Çözüm7:  21 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

  ifadesinde büyük çarpan 7 olduğundan 60 sayısını 7 ye bölelim.               

        

                                                         bölümler toplamı 8+1=9 cevabımız olur.

 

 

 


 

 

Örnek8: 35! Sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevap8: a ve b pozitif tam sayılar.  sağlayan  a nın en büyük değeri kaçtır ile aynı sorudur.


büyük çarpan olan 5 e böldük cevap 8 olur.

 

 

 

Örnek9: 45!-25! İfadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır?

                    

 

                           


45! İn sonunda 10 tane, 25! Sonunda 6 tane sıfır vardır. Çıkarma işlemi yaparsak küçük olan sayı kadar sıfır kalır. Cevabımız 6 olur.

 

 

 

 

Örnek10: 26!-25! İfadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır?

Çözüm: ifadeyi ortak paranteze alalım. 26.25!-25!=25!(26-1)=25!.25 olur. Sorumuz;

 k en çok kaçtır ile aynı sorudur. Normal şartlarda 25! i 5 e böleriz ve 6 buluruz. (bkz.Örnek9)

Fakat bu soruda ek olarak 25 çarpanı da var ve 25 in içinde 2 tane 5 saklı . Bu iki tane 5 çarpanı da bulduğumuz 6 sayısına eklenmeli. Yani cevabımız 8 olur.

 

Örnek11:    ifadesinde x pozitif tam sayı, y ise pozitif çift tamsayı ise x en fazla kaçtır?

Çözüm:  ifadesinde x in en büyük değeri için y tek tamsayı çıkar.  çünkü 15! in içindeki tüm 2 çarpanlarını alırsak geri kalan ifade tek sayı olur. ama soruda y nin pozitif çift tamsayı olduğunu belirtmiş. Bunun olabilmesi için de en az bir tane 2 çarpanını y ye vermek gerekir.

 Elimizde 7+3+1=11 tane 2 çarpanı vardır. Ama 1 tane 2 yi y ye verecektik. Bu yüzden x en çok 10 olur.

 

 

 

Örnek12: 35!-1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur?

Çözüm: 35! in sondan 8 basamağı sıfırdır. (bkz. Örnek8)

Sonunda 8 sıfır olan bir sayıdan 1 sayısını çıkarırsak 8 basamak 9 olur.

 

 

Örnek13:  25! Sayısı 6 lık sayma sisteminde yazıldığında sondan kaç basamağı sıfır olur?

Çözüm:  sayısı 3 ün sağına 5 tane sıfır yazmak demektir)

Nasıl ki bizim sayma sistemimiz olan 10 tabanında 10 un kuvvetleri sıfır anlamına geliyorsa 6 tabanında da 6 nın kuvvetleri sıfır anlamına gelir. Yani aslında soru  ifadesinde x en çok kaçtır sorusuyla aynı sorudur.

 ifadesinde üsler eşit olduğundan büyük olan çarpana bölelim.


                        8+2=10 cevabımızdır.

 

 

 

 

Yapılan Yorumlar

hilal
hilal05 Temmuz 2015

Cok iyi bu ,tesekkurler

abdul
abdul27 Temmuz 2015

İstedigimi buldum tesekkürler.

Hakan
Hakan28 Temmuz 2015

şimdi annadım:)

Mahmut Cemtürkersiz
Mahmut Cemtürkersiz 20 Ağustos 2015

Hocam sağolun çok işe yaradı

Serkan
Serkan17 Eylül 2015

Bu sayfa da olmasa tam faktoriyel anlatan bi site bulamayacagiz.

Emine cankir
Emine cankir19 Eylül 2015

ab ve ba iki basamaklı dogal sayilardir.
ab+ba toplami bir tam kare ise kac farkli ab sayisi yayazilabilir.
admin: sorunuz çözümlü sorular kısmına taşınmıştır.

Ali
Ali 23 Eylül 2015

Iyi aksamlar bir soru var cv bini bir turlu bulamadim yardimci olursaniz sevinirim. Teşekkürler.
5! Sayisinin 4! Sayma sisteminde (tabaninda) yazilisi nedir?
ADMİN:sorularınızı 'soru sor' bölümüne yazarsanız daha hızlı cevap alırsınız. sorunuz çözümlü sorular kısmına taşınmıştır.

emine
emine29 Eylül 2015

Harika olmus

meryem paryy
meryem paryy02 Ekim 2015

sorulariz ve konu anlatiminiz gayet iyi begendim..
.

berz
berz05 Ekim 2015

Soru göndersem çözer misiniz?
Admin: soru sor bölümü bu amaçla açıldı

Mehtap
Mehtap 07 Ekim 2015

Emeğinize sağlık... Teşekkürler :)

fatma
fatma10 Ekim 2015

Tsk ederim soruyu burdan çözdüm:-D

ahe
ahe12 Ekim 2015

Hocam çok güzel olmuş fakat bu soru için araştırma yaptım ama bişey bulamadım bir bakarsanız sevinirim.
soru)
a ve b birer doğal sayı
a!=120.b!
a+b kaç farklı değer alır?
Admin: sorunuz çözümlü sorular kısmında çözüldü.

Doğa Mumcu
Doğa Mumcu13 Ekim 2015

Hocam ben bir seyi anlayamadım cok
Basit bir sey ama. Mesela seksen bes faktöriyel in sonundaki 0 lar icin seksen besi , bes e böldük ama biz seksen bes 'faktöriyel' deki besleri aramiyor muyuz??
admin: zaten 85 faktöriyel dediği için böyle bir yöntem uyguluyoruz. yoksa 85 in sonunda zaten 0 yok.

Ayşegül
Ayşegül20 Ekim 2015

(n-4)!+(4-n)!+2n! ÷2=?
Admin: sorularinizi soru sor bolumune yaziniz. Bu soruda
n=4 tür

Büşra
Büşra24 Ekim 2015

Hocam faktöriyelin üslü eşitinde en büyük kuvvet bulmayi anlatmissiniz ama alabileceği değerler toplami derse ne yapmak lazim
admin:faktöriyel konusu 6. örnekte en küçük ve en büyük değerler bulunmuş. bu değerler arasındaki değerleri toplamak gerekir.

ceylan
ceylan06 Kasım 2015

tekskkurler harıka bı yermıs

nazlı
nazlı12 Kasım 2015

Sorularımı çözebilirmisiniz :)
Admin:Sorularinizi soru sor bolumune yazarsanız çözülecektir.

Kubra
Kubra29 Kasım 2015

Allah razı olsun hocam

Serra
Serra08 Aralık 2015

HARİKA OLMUŞ tamda aradığımı buldum siteniz iyiymiş!!!

Mustafa
Mustafa 19 Aralık 2015

Arkadaslar yardimci olabilir misiniz bu soruyu cözemedim n! - 1sayısının sondan 6 basamağı 9 olduğuna göre, n`nin alabileceği degerler toplami kactir. simdiden teşekkürler.
Admin: sorularinizi soru sor bölümüne yaziniz

Ozan
Ozan31 Aralık 2015

Cok teşekkür ederim hocam cok sagolun

Okan
Okan25 Ocak 2016

Eyw. hoca adamsın 😉

cem
cem05 Şubat 2016

93!_2 sayisinin sondan kac basamagi 8dir
Admin:Sorularınızı soru sor bölümüne yazınız.
(93! in sonunda sıfırlar olduğunu biliyoruz. 2 sayısını çıkarırsak son basamak 8 olur.)

İbrahim
İbrahim 15 Şubat 2016

Hocam öncelikle çok teşekkür ederim lâkin 12. Soru sıkıntılı gibi.Farklı
kaynak kitaplarında bu şekilde belirtilmemiş.
Admin: Sıkıntılı olan kismi yazarsanız inceleriz. Ya da farklı kaynaklardan cozum yollarsaniz inceler kritik ederiz.

Batuhan
Batuhan16 Şubat 2016

Emeğinize sağlık gerçekten çok faydalı oldu.

emine
emine19 Şubat 2016

Çok faydalı olmuş

beytul
beytul24 Şubat 2016

hocam Allah razı olsun çok iyi anladım :)

Yusuf
Yusuf 28 Şubat 2016

Teşekkür ederim

alper
alper28 Şubat 2016

9 ve 10. sorularda neden farklı yol izledik
Admin: 26! in de sondan 6 basamağı sifirdir 25! in de.
Ama sondan 7. basamaktaki sayilar toplamının da sıfır yapma durumu var.
Bunu anlamak için böyle son basamakları aynı sayıda sıfır olan sorularda ortak paranteze alip bu durum incelenir.

Hassen
Hassen03 Mart 2016

Çok sağolun cidden çok iyi

madam absurd
madam absurd04 Mart 2016

Cok guzel saolun

ali huseyin karcı
ali huseyin karcı05 Mart 2016

soruları burdan çözdüm

egzö
egzö15 Mart 2016

bu site gerçekten aradığım gibi.teşekküür ederim.Çook sağolun

ofof
ofof19 Mart 2016

süper kardeşim bura

sümeyye
sümeyye28 Mart 2016

Bu ne biçim konu çok saçma

M.Tekin
M.Tekin06 Mayıs 2016

Çok iyi hazırlamışşsınız sağolun

Murat gemsiz
Murat gemsiz22 Mayıs 2016

Kaç gündür başım ağrımıştı allah bin kere razı olsun.

tugba
tugba31 Mayıs 2016

istediğim açıklamayı buldum sonunda tesekkrler

Kürşat
Kürşat 20 Haziran 2016

Verimli oldu. Teşekkürler

YURİ
YURİ29 Haziran 2016

ALLAH RAZI OLSUN GARDAŞ

NEŞEKKÜR
NEŞEKKÜR29 Haziran 2016

NEŞEKKÜR EDER SİZE TEŞEKKÜR

Papatya
Papatya15 Temmuz 2016

Allah razi olsun sağolun :)

mehmet uğur
mehmet uğur 29 Temmuz 2016

çok teşekkür ederim sağolun
Admin: rica ederim

mathmath
mathmath26 Ağustos 2016

muthis olmus

buse
buse26 Eylül 2016

çoookkkkk güzel bayıldım mütiş👍👍👍

nursena
nursena 30 Eylül 2016

saolun çok güzel olmuş bide sorularımız aynı gün çözülebilirmi

nursena
nursena 30 Eylül 2016

saolun çok güzel olmuş bide sorularımız aynı gün çözülebilirmi

şeyma
şeyma 05 Ekim 2016

çok beğendim hep yanında hoca bulundurmak nasıl hissetiriyorsa öyle ama daha da iyisi...

duru
duru08 Ekim 2016

güzell olmuşş

emre
emre 09 Ekim 2016

wery wery good

Ali hakan
Ali hakan15 Ekim 2016

Çok saol çok işime yaradı.

Zehra
Zehra17 Ekim 2016

Supersiniz

Zehra
Zehra17 Ekim 2016

Hicam cok isime yaradi

Irem
Irem17 Ekim 2016

Cok isime yaradi

Irem
Irem 17 Ekim 2016

Cok isime yaradi
Allah razı olsun

İpek
İpek19 Ekim 2016

Saolun hocam yardımcı oldunuz

sezgin
sezgin20 Ekim 2016

hocam iyi değildi ya

omer
omer23 Ekim 2016

k.b benim anlamdigim orenek iki 8!(9+1) ifadesindeki 1 nereden geldi hocam??

berçem
berçem24 Ekim 2016

Hocan gerçekten anladım. Saolun

nimet
nimet25 Ekim 2016

rezalet kötü

shdjfhhthehvjtbcbgo
shdjfhhthehvjtbcbgo25 Ekim 2016

harika inanılmaz

gorkem yildiz
gorkem yildiz08 Kasım 2016

cok tesekkurler tam olarak anladim

irem su
irem su11 Kasım 2016

çooooooook güzel bence

Sjssjsj
Sjssjsj07 Aralık 2016

Eyvallah sorular müthiş. ..😉

Faruk
Faruk 14 Aralık 2016

Eyvallah hocam allah razı olsun

ÖMÖMÖÖM
ÖMÖMÖÖM21 Aralık 2016

GOZEL BE GOZEL

Bahadır Nacar
Bahadır Nacar04 Ocak 2017

Allah razı olsun çok güzel örneklendirmeler yapmışsınız.Konuyu anladım sayenizde

Kurt
Kurt05 Şubat 2017

Çok güzel bir anlatım teşekkürler.

Mehtap
Mehtap13 Şubat 2017

Emeginize saglik cok aciklayici sekilde anlatmissiniz

gizli kişi
gizli kişi15 Şubat 2017

hiç iyi değil hocalar daha güzel öğretiyor

Ahmet
Ahmet11 Mart 2017

Elinize sağlık çok güzel

esra karrabük
esra karrabük21 Mart 2017

Çoooooooooooooooooooook güzel

Merwee
Merwee30 Mart 2017

Sağolun çok teşekkür ederiz emeğinize sağlık tamda bütün gün kafa yorduğum şeyi şimdi anladım

Merwee
Merwee30 Mart 2017

Sağolun çok teşekkür ederiz emeğinize sağlık tamda bütün gün kafa yorduğum şeyi şimdi anladım

ercan
ercan09 Nisan 2017

cok iyi işimize yaradı

mehmet
mehmet24 Ağustos 2017

hocam birde örn.12 deki sorunun bir başka modeli varya 1 yerine 2 çıkartılıyor ve kaç basamağı 8 dir? sorular var mı

fatih
fatih24 Ağustos 2017

çok güzel di

Muhammet
Muhammet 23 Eylül 2017

İyi olmuş yapana teşekürler

Ece
Ece24 Eylül 2017

Allah razı olsun

Ahmet
Ahmet28 Eylül 2017

Harika ötesi! Emeğinize sağlık çok teşekkür ederim gayet düzgün bir anlatım ile aklımıza girdi.

Deniz:)
Deniz:)02 Ekim 2017

Çok güzel bayıldım👍👍

cihan
cihan02 Ekim 2017

direk öğrenmek istenileni açıkca yazdınız teşekkürler

Ramazan
Ramazan03 Ekim 2017

Çok yararlı oldu 👍👍

Halit Alper
Halit Alper15 Ekim 2017

Hocam Çok Teşekkürler. Umarım hakettiğiniz değeri bulursunuz .

merve kaya
merve kaya16 Ekim 2017

Guzel olmus ama anlamadigim kisimlarda var ama yinede sagolun!!!!

duru
duru18 Ekim 2017

İyimiş iyi

PEPEYAN
PEPEYAN22 Ekim 2017

ÇOK GÜZEL EYW

esma
esma26 Ekim 2017

1.1!+2.2!+3.3!+.....+40.40! Toplamı bir A sayisina esittir A sayisinin sondan kac basamagi 9 dur?
Admin: Sorularınızı lütfen soru sor bölümüne yazınız.
(1.1!+2.2!+......+40.40!=41!-1 eşitliğinden yararlanın.)

dilara
dilara27 Ekim 2017

aşırı aşırı bir şekilde beğendim hem çözümler hem de soru tarzları sınavım ve çözdüğüm sorular için çok yararlı oldu çok sağolun :)

Pikhachu
Pikhachu18 Kasım 2017

Renkli renkli efsane

Pınar
Pınar23 Kasım 2017

mat temelim yok ama cok güzel anlatmıssınız hemen anladım sitenizide cok beğendim teşekkür ederim hocam :)

serhat
serhat30 Kasım 2017

ayrıntı bakımından super yararını cok gordum :)

uğur rokovet
uğur rokovet02 Aralık 2017

emeğinize sağlık konuyu şahane izah etmişsiniz.

Zeynep
Zeynep09 Aralık 2017

Çok iyi olmuş 😊

nehir
nehir13 Aralık 2017

👏👏çok başarılı

Yılmaz
Yılmaz14 Aralık 2017

Elinize sağlık mükemmel bir anlatımdı

Rüya
Rüya18 Aralık 2017

Gerçekten çok iyi

İnci
İnci17 Ocak 2018

Çok guzdl olmus elinize emeginize saglik bi cok soruyu soru bankamda cozmus oldum ve konuyuda anladim tesekkurler.

Yağmur
Yağmur22 Ocak 2018

Çok güzel olmuş teşekkürler

MizgiN
MizgiN23 Ocak 2018

Gayet iyi teşekkürler 👍👍👍👏👏👏

MizgiN
MizgiN23 Ocak 2018

Gayet iyi teşekkürler 👍👍👍👏👏👏

halil
halil25 Ocak 2018

Gercekten cok iyi ozellikle nedenleri aciklamaniz

Büşra
Büşra25 Ocak 2018

Çok faydalı
Teşekkürler

Clever girl
Clever girl25 Ocak 2018

This is very useful
Thank you very much

İbrahim
İbrahim25 Ocak 2018

Bu kadar iyi anlatdığınız için teşekkür ederim...

Grenn
Grenn06 Şubat 2018

Cok super olmus

Cihat Kıyak
Cihat Kıyak28 Mayıs 2018

Süper olmuş.. Ellerinize sağlık.

Gokhan
Gokhan29 Mayıs 2018

Gökhan bunu beğendi.

Metine
Metine12 Haziran 2018

Berbat bişey anlatim tarzi igrenç..

Yorum Yapın

Güvenlik Kodu
Popüler Sayfalar:
Son Ziyaretler:
Coğrafya Sitesi Tarih Sitesi