Tanım: 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına 'n faktöriyel' denir ve n! şeklinde gösterilir. .n!=1.2.3........(n-1).n .0!=1 ve 1!=1 dir. Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120, 4!=4.3.2.1=24, 6!=6.5.4.3.2.1=720 olur. Not: 6!=6.5.4.3.2.1 dir. 5!=5.4.3.2.1 olduğundan 6!=6.5! şeklinde yazılır. Genelleştirirsek, .n!=n.(n-1)! veya n!=n(n-1).(n-2)! Şeklinde yazılabilir.
|
Uyarı: Faktöriyeli tek sayı olan sayılar 0 ve 1 dir. (0!=1 ve 1!=1) bu sayıların dışında kalan sayıların faktöriyeli çifttir. Çünkü 2 den itibaren tüm sayıların faktöriyellerinde en az bir çift sayı vardır.
|
Örnek1: ifadesinin eşiti kaçtır? Çözüm: Büyük olan sayıyı küçük olan sayıya benzetmek gerekir. 10!=10.9.8! , 11!=11.10! şeklinde yazılırsa, elde edilir.
|
Örnek2: 8!=a ise 8!+9! İfadesinin a türünden eşiti kaçtır? Çözüm: 9! İfadesini 9.8! şeklinde yazıp 8! parantezine alırsak 8!+9!=8!+9.8!=8!(1+9)=8!.10=a.10 bulunur.
|
Örnek3: 2!+4!+6!+.................+150! işleminin son basamağı kaçtır? Çözüm3: Son basamağı istiyorsa mutlaka işin içinde son basamakları sıfır olan sayılar vardır. 2!=2, 4!=24, 5!=120, 6!=720 ............dikkat edilirse 5! den sonraki her sayının faktöriyelinin son basamağında sıfır vardır. Dolayısıyla son basamak, sıfır dışında kalan sayılar tarafından belirlenir. Yani 2!+4!=2+24=26 nın son basamağı olan 6 cevabımızdır.
|
formatındaki soru tarzı:
|
Örnek4: x,k pozitif tam sayı ise ifadesinde x en çok kaçtır? 12!=12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 ifadesinde kaç tane 2 çarpanı vardır diye soruluyor. 12 nin içinde 2 tane , 10 nun içinde 1 tane , 8 in içinde 3 tane ,6 nın içinde 1 tene , 4 ün içinde 2 tane ve 2 nin içinde de 1 tane 2 çarpanı vardır. Toplamda da 2+1+3+1+2+1=10 tane 2 çarpanı vardır. Ne yaptığımızı anladıysak daha kısa sürsün diye 12 yi 2 ye bölelim sonra bölümü tekrar 2 ye bölelim, böylece devam etsin. En sonunda da bölümleri toplarsak yine aynı sonuca ulaşırız.
6+3+1=10
|
Örnek5: x ve y doğal sayılar. sağlayan en büyük x sayısı kaçtır? Çözüm: DİKKAT! İlk bilmemiz gereken nokta ifadesinde a nın asal sayı olması gerektiğidir. Eğer asal değil ise asal çarpanlarına ayrılmalı. haline dönüşmeli. Örnek4 teki gibi 12 yi 2 ye bölelim. buradaki 10 sayısını 2 nin kuvvetine eşitlersek 10=3x ifadesinde x tam sayı çıkmaz ama biz x i 3 alacağız. (tam bölünmesi gerekmiyor bölümü alırız.)
|
Örnek6: a ve b pozitif tam sayılar. sağlayan, a)en büyük a sayısı kaçtır? b)en küçük a sayısı kaçtır? c)kaç farklı a sayısı vardır? Çözüm6: a)10 sayısı asal sayı olmadığı için asal çarpanlarına ayıralım. 10=2.5
5 için a en çok 7+1=8, 2 için x en çok 17+8+4+2+1=32 oluyor. Kuvveti az olan 8 bizim cevabımızdır. Neden mi?
Elinizde 8 tane 5, ve 32 tane 2 varsa kaç tane 10 elde edebilirsiniz? 8 tane 5 ve 8 tane 2 yi bağlarsınız 8 tane 10 elde edersiniz. Daha fazla 10 elde etmek için elinizde 5 kalmadı değilmi. Dikkat! Bu yüzdendir ki üsleri eşit ifadeler varken büyük olan çarpana bölmemiz yeterli olur. b)En küçük değer a sayısının nasıl tanımlandığı ile ilgilidir. Soru kökünde a sayısının pozitif tam sayı olduğu söyleniyor. En küçük pozitif tam sayı 1 olduğundan a en az 1 dir. (!a için doğal sayı deseydi en az a=0 alınırdı.) c) a en az 1, en çok 8 bulunduğuna göre a sayısı 1 ile 8 arasındaki (1 ve 8 dahil) her değeri alabilir. O halde cevabımız 8 olur.
|
Örnek7: k ve m doğal sayılar. ifadesinde k en çok kaçtır? Çözüm7: 21 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. ifadesinde büyük çarpan 7 olduğundan 60 sayısını 7 ye bölelim.
bölümler toplamı 8+1=9 cevabımız olur.
|
Örnek8: 35! Sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? Cevap8: a ve b pozitif tam sayılar. sağlayan a nın en büyük değeri kaçtır ile aynı sorudur.
|
Örnek9: 45!-25! İfadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır?
45! İn sonunda 10 tane, 25! Sonunda 6 tane sıfır vardır. Çıkarma işlemi yaparsak küçük olan sayı kadar sıfır kalır. Cevabımız 6 olur.
|
Örnek10: 26!-25! İfadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır? Çözüm: ifadeyi ortak paranteze alalım. 26.25!-25!=25!(26-1)=25!.25 olur. Sorumuz; k en çok kaçtır ile aynı sorudur. Normal şartlarda 25! i 5 e böleriz ve 6 buluruz. (bkz.Örnek9) Fakat bu soruda ek olarak 25 çarpanı da var ve 25 in içinde 2 tane 5 saklı . Bu iki tane 5 çarpanı da bulduğumuz 6 sayısına eklenmeli. Yani cevabımız 8 olur.
|
Örnek11: ifadesinde x pozitif tam sayı, y ise pozitif çift tamsayı ise x en fazla kaçtır? Çözüm: ifadesinde x in en büyük değeri için y tek tamsayı çıkar. çünkü 15! in içindeki tüm 2 çarpanlarını alırsak geri kalan ifade tek sayı olur. ama soruda y nin pozitif çift tamsayı olduğunu belirtmiş. Bunun olabilmesi için de en az bir tane 2 çarpanını y ye vermek gerekir. Elimizde 7+3+1=11 tane 2 çarpanı vardır. Ama 1 tane 2 yi y ye verecektik. Bu yüzden x en çok 10 olur.
|
Örnek12: 35!-1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? Çözüm: 35! in sondan 8 basamağı sıfırdır. (bkz. Örnek8) Sonunda 8 sıfır olan bir sayıdan 1 sayısını çıkarırsak 8 basamak 9 olur.
|
Örnek13: 25! Sayısı 6 lık sayma sisteminde yazıldığında sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: sayısı 3 ün sağına 5 tane sıfır yazmak demektir) Nasıl ki bizim sayma sistemimiz olan 10 tabanında 10 un kuvvetleri sıfır anlamına geliyorsa 6 tabanında da 6 nın kuvvetleri sıfır anlamına gelir. Yani aslında soru ifadesinde x en çok kaçtır sorusuyla aynı sorudur. ifadesinde üsler eşit olduğundan büyük olan çarpana bölelim.
|
Cok iyi bu ,tesekkurler
İstedigimi buldum tesekkürler.
şimdi annadım:)
Hocam sağolun çok işe yaradı
Bu sayfa da olmasa tam faktoriyel anlatan bi site bulamayacagiz.
ab ve ba iki basamaklı dogal sayilardir.
ab+ba toplami bir tam kare ise kac farkli ab sayisi yayazilabilir.
admin: sorunuz çözümlü sorular kısmına taşınmıştır.
Iyi aksamlar bir soru var cv bini bir turlu bulamadim yardimci olursaniz sevinirim. Teşekkürler.
5! Sayisinin 4! Sayma sisteminde (tabaninda) yazilisi nedir?
ADMİN:sorularınızı 'soru sor' bölümüne yazarsanız daha hızlı cevap alırsınız. sorunuz çözümlü sorular kısmına taşınmıştır.
Harika olmus
sorulariz ve konu anlatiminiz gayet iyi begendim..
.
Soru göndersem çözer misiniz?
Admin: soru sor bölümü bu amaçla açıldı
Emeğinize sağlık... Teşekkürler :)
Tsk ederim soruyu burdan çözdüm:-D
Hocam çok güzel olmuş fakat bu soru için araştırma yaptım ama bişey bulamadım bir bakarsanız sevinirim.
soru)
a ve b birer doğal sayı
a!=120.b!
a+b kaç farklı değer alır?
Admin: sorunuz çözümlü sorular kısmında çözüldü.
Hocam ben bir seyi anlayamadım cok
Basit bir sey ama. Mesela seksen bes faktöriyel in sonundaki 0 lar icin seksen besi , bes e böldük ama biz seksen bes 'faktöriyel' deki besleri aramiyor muyuz??
admin: zaten 85 faktöriyel dediği için böyle bir yöntem uyguluyoruz. yoksa 85 in sonunda zaten 0 yok.
(n-4)!+(4-n)!+2n! ÷2=?
Admin: sorularinizi soru sor bolumune yaziniz. Bu soruda
n=4 tür
Hocam faktöriyelin üslü eşitinde en büyük kuvvet bulmayi anlatmissiniz ama alabileceği değerler toplami derse ne yapmak lazim
admin:faktöriyel konusu 6. örnekte en küçük ve en büyük değerler bulunmuş. bu değerler arasındaki değerleri toplamak gerekir.
tekskkurler harıka bı yermıs
Sorularımı çözebilirmisiniz :)
Admin:Sorularinizi soru sor bolumune yazarsanız çözülecektir.
Allah razı olsun hocam
HARİKA OLMUŞ tamda aradığımı buldum siteniz iyiymiş!!!
Arkadaslar yardimci olabilir misiniz bu soruyu cözemedim n! - 1sayısının sondan 6 basamağı 9 olduğuna göre, n`nin alabileceği degerler toplami kactir. simdiden teşekkürler.
Admin: sorularinizi soru sor bölümüne yaziniz
Cok teşekkür ederim hocam cok sagolun
Eyw. hoca adamsın 😉
93!_2 sayisinin sondan kac basamagi 8dir
Admin:Sorularınızı soru sor bölümüne yazınız.
(93! in sonunda sıfırlar olduğunu biliyoruz. 2 sayısını çıkarırsak son basamak 8 olur.)
Hocam öncelikle çok teşekkür ederim lâkin 12. Soru sıkıntılı gibi.Farklı
kaynak kitaplarında bu şekilde belirtilmemiş.
Admin: Sıkıntılı olan kismi yazarsanız inceleriz. Ya da farklı kaynaklardan cozum yollarsaniz inceler kritik ederiz.
Emeğinize sağlık gerçekten çok faydalı oldu.
Çok faydalı olmuş
hocam Allah razı olsun çok iyi anladım :)
Teşekkür ederim
9 ve 10. sorularda neden farklı yol izledik
Admin: 26! in de sondan 6 basamağı sifirdir 25! in de.
Ama sondan 7. basamaktaki sayilar toplamının da sıfır yapma durumu var.
Bunu anlamak için böyle son basamakları aynı sayıda sıfır olan sorularda ortak paranteze alip bu durum incelenir.
Çok sağolun cidden çok iyi
Cok guzel saolun
soruları burdan çözdüm
bu site gerçekten aradığım gibi.teşekküür ederim.Çook sağolun
süper kardeşim bura
Bu ne biçim konu çok saçma
Çok iyi hazırlamışşsınız sağolun
Kaç gündür başım ağrımıştı allah bin kere razı olsun.
istediğim açıklamayı buldum sonunda tesekkrler
Verimli oldu. Teşekkürler
ALLAH RAZI OLSUN GARDAŞ
NEŞEKKÜR EDER SİZE TEŞEKKÜR
Allah razi olsun sağolun :)
çok teşekkür ederim sağolun
Admin: rica ederim
muthis olmus
çoookkkkk güzel bayıldım mütiş👍👍👍
saolun çok güzel olmuş bide sorularımız aynı gün çözülebilirmi
saolun çok güzel olmuş bide sorularımız aynı gün çözülebilirmi
çok beğendim hep yanında hoca bulundurmak nasıl hissetiriyorsa öyle ama daha da iyisi...
güzell olmuşş
wery wery good
Çok saol çok işime yaradı.
Supersiniz
Hicam cok isime yaradi
Cok isime yaradi
Cok isime yaradi
Allah razı olsun
Saolun hocam yardımcı oldunuz
hocam iyi değildi ya
k.b benim anlamdigim orenek iki 8!(9+1) ifadesindeki 1 nereden geldi hocam??
Hocan gerçekten anladım. Saolun
rezalet kötü
harika inanılmaz
cok tesekkurler tam olarak anladim
çooooooook güzel bence
Eyvallah sorular müthiş. ..😉
Eyvallah hocam allah razı olsun
GOZEL BE GOZEL
Allah razı olsun çok güzel örneklendirmeler yapmışsınız.Konuyu anladım sayenizde
Çok güzel bir anlatım teşekkürler.
Emeginize saglik cok aciklayici sekilde anlatmissiniz
hiç iyi değil hocalar daha güzel öğretiyor
Elinize sağlık çok güzel
Çoooooooooooooooooooook güzel
Sağolun çok teşekkür ederiz emeğinize sağlık tamda bütün gün kafa yorduğum şeyi şimdi anladım
Sağolun çok teşekkür ederiz emeğinize sağlık tamda bütün gün kafa yorduğum şeyi şimdi anladım
cok iyi işimize yaradı
hocam birde örn.12 deki sorunun bir başka modeli varya 1 yerine 2 çıkartılıyor ve kaç basamağı 8 dir? sorular var mı
çok güzel di
İyi olmuş yapana teşekürler
Allah razı olsun
Harika ötesi! Emeğinize sağlık çok teşekkür ederim gayet düzgün bir anlatım ile aklımıza girdi.
Çok güzel bayıldım👍👍
direk öğrenmek istenileni açıkca yazdınız teşekkürler
Çok yararlı oldu 👍👍
Hocam Çok Teşekkürler. Umarım hakettiğiniz değeri bulursunuz .
Guzel olmus ama anlamadigim kisimlarda var ama yinede sagolun!!!!
İyimiş iyi
ÇOK GÜZEL EYW
1.1!+2.2!+3.3!+.....+40.40! Toplamı bir A sayisina esittir A sayisinin sondan kac basamagi 9 dur?
Admin: Sorularınızı lütfen soru sor bölümüne yazınız.
(1.1!+2.2!+......+40.40!=41!-1 eşitliğinden yararlanın.)
aşırı aşırı bir şekilde beğendim hem çözümler hem de soru tarzları sınavım ve çözdüğüm sorular için çok yararlı oldu çok sağolun :)
Renkli renkli efsane
mat temelim yok ama cok güzel anlatmıssınız hemen anladım sitenizide cok beğendim teşekkür ederim hocam :)
ayrıntı bakımından super yararını cok gordum :)
emeğinize sağlık konuyu şahane izah etmişsiniz.
Çok iyi olmuş 😊
👏👏çok başarılı
Elinize sağlık mükemmel bir anlatımdı
Gerçekten çok iyi
Çok guzdl olmus elinize emeginize saglik bi cok soruyu soru bankamda cozmus oldum ve konuyuda anladim tesekkurler.
Çok güzel olmuş teşekkürler
Gayet iyi teşekkürler 👍👍👍👏👏👏
Gayet iyi teşekkürler 👍👍👍👏👏👏
Gercekten cok iyi ozellikle nedenleri aciklamaniz
Çok faydalı
Teşekkürler
This is very useful
Thank you very much
Bu kadar iyi anlatdığınız için teşekkür ederim...
Cok super olmus
Süper olmuş.. Ellerinize sağlık.
Gökhan bunu beğendi.
Berbat bişey anlatim tarzi igrenç..
Faktöriyel sorularından son 4 basamağın toplamı soruları nasıl çözülür.
ADMİN: Sorunuzun resmini çözümlü sorular kısmına girip soru sor kısmına tıklayarak ekleyin yardımcı olalım.