Aralık Kavramı:

                           Şeklinde olur.

NOT1:

 Yandaki grafikte  ve , f(x) fonksiyonunu sıfır yaptığından köktür. Fonksiyonun işaret tablosunu incelediğimizde in sağ tarafında (den büyük değerler için) fonksiyon pozitif değerler alırken, sol tarafında negatif değerler alıyor.  nin sağında ve solunda fonksiyon pozitif değerler alıyor. İşaret tablosu da aşağıdaki gibi olur.

NOT2: NOT1 deki işaret tablosunda  nin sağında ve solunda işaret aynı olduğundan  ye çift katlı kök denir. Çift katlı kök sorularda karşımıza ,

 veya  şeklinde çıkacaktır.

TANIM: olmak üzere a,b ve c birer gerçek sayı olsun.

, , ,  ifadelerine 2. Dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

NOT3: Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için  denkleminin kökleri bulunarak işaret tablosu hazırlanır.   olsun. İşaret tablosu aşağıdaki gibi olur.

NOT4: Çözüm aralığını bulduktan sonra köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilip, çözüm kümesine eklenip çıkarılacağı üzerine yorum yapılır.

Örnek1:  eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:  denkleminin köklerini bulalım.

 Çarpanlarına ayırırsak   ve  olur. İşaret tablosunu yapalım,

Sıfırdan küçük olan yerler aralığıdır.  x=-2 için 0<0 ve x=5 için 0<0 elde edilir. doğru önerme olmadığından

 x=-2 ve x=5 denklemi sağlamaz deriz ve bu yüzden açık parantez kullanılır. (bkz not4)

Örnek2:  eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:  denkleminin köklerini bulalım.

 ve olur. eşitsizlik tablosunu yaparken en sağın negatif olduğuna dikkat edelim (a burada -1 dir ve işareti de (-) dir. bkz not3) işaret tablosu da aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi aralığıdır. (Bizden  olan yerleri istiyor.) (Dikkat: x=3 ve x=-3 denklemi sağladığı için kapalı parantez kullanıldı.)

Örnek3:  eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: İfade şeklinde düzenlenir.  denkleminin kökü x=2 dir ve çift kattır. (bkz not2)

İşaret tablosu da aşağıdaki gibi olur.

Görüldüğü gibi  aralığında yani tüm reel sayılarda  ifadesi pozitif değerler alıyor gibi görünüyor.

Şimdi de kökleri inceleyelim (bkz not4)

x=2 için  elde edilir ki doğru bir önerme olmadığından denklemi sağlamaz. Dolayısıyla çözüm aralığından çıkarmak gerekir. olur.

 şeklindeki eşitsizlikler.

Örnek4:  eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: Her çarpanın kökünü bulalım.

         elde edilir. işaret tablosunda sayıları küçükten büyüğe yerleştirelim.

Kökleri de incelersek paydayı sıfır yapan x=3 çözüm kümesine eklenmez x=2 ve x=1 denklemi sağlar bu yüzden

 sağlayan yerler  için olur.

Dikkat: Burada önemli olan x=3 ün sağında yani 3 ten büyük değerler için fonksiyonun pozitif değerler aldığını görmektir. Bunun için x yerine 3 ten büyük bir değer verilebilir veya daha kısası ifadede her bir çarpanın başkatsayısının işaretlerini çarpmaktır. Yani

x-2 nin başkatsayısı 1 dir, işareti de + dır

x-1 in başkatsayısı 1 dir ve işareti + dır.

x-3 ün başkatsayısı 1 dir ve işareti + dır.

3 adet + işaretinin çarpımı + olduğundan tablonun en sağı + ile başladı.

Örnek5:   eşitsizliğini sağlayan x tamsayıları kaç tanedir?

Çözüm:  ve

 ve

 köklerimiz.

Görüldüğü gibi x=1 den iki kök (yani çift kat oldu) x=-1 den ve x=-3 ten birer kök var. Burada önemli olan x=1 kökünün iki çarpanda olduğunu görüp çift kat olarak tabloya eklemektir.

Başkatsayının işaretlerine bakarsak hepsi + olduğundan en sağ + ile başlar.

x=1 çift kat kök olduğundan işaret değiştirmedik. Şimdi kökleri inceleyelim.

x=-3 paydayı sıfır yaptığından ç.k ne eklenmez. x=-1 ve x=1 pay kısmında ve eşitlik olduğu için eşitsizliği sağlar ve ç.k ne eklenir.

Bizden  yapan yerleri istiyordu. olur. eşitsizliği sağlayan tamsayılar da ,  olur.

Örnek6:  eşitsizliğini sağlayan sayıların çözüm kümesi nedir?

Çözüm: kökleri bulalım.

 ve

 denkleminin ise kökü yoktur.

x=1 den ilk çarpanda 2015 tane, ikinci çarpanda da 1 tane var. Dolayısıyla x=1 çift kat köktür.(2015+1=2016 çift sayı)

x=-1 den ise 1 kök vardır o yüzden tek kat köktür. İşaret tablosunu yapalım.

                Başkatsayıların işaretleri çarpımı + olduğundan en sağ + ile başlar.

                Kökler eşitsizliği sağlamadığından ç.k ne dahil edilmez.

                 olur.

*Örnek7:  eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm: Her zamanki gibi kökleri bulalım.

 denkleminin kökü yoktur. (dikkat:  olmak üzere  ifadesini sıfır yapan değer yoktur)

 denkleminin de reel kökü yoktur. ( olduğundan reel kök yoktur. Bkz 2. Derece denklemler)

çift kat köktür. (bkz NOT2) .İşaret tablosu da aşağıdaki gibi olur.

Başkatsayıların işaretlerine baktığımızda en sağ negatif işaretli olur.

( nin başkatsayısı -1 ve işareti de ' dir.)

Kökleri incelersek, x=-1 denklemi sağlar. Bizden  olan yerleri istiyor. Böyle bir yer tabloda olmadığından çözüm kümesi sadece x=-1 dir.

Örnek8:  olmak üzere,

 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm8: Her zamanki gibi kökleri bulalım.

x+m=0 ise x=-m, x+p=0 ise x=-p ve x+n=0 ise x=-n olur. işaret tablosunda kökleri küçükten büyüğe yerleştireceğiz.

(m=-1, n=1 ve p=2 alınırsa 'm=1, -p=-2 ve 'n=-1 olur. -2<-1<1 olduğundan  'p<-n<-m olur.

İşaret tablosunun en sağı için katsayıların işaretlerine bakarsak tüm başkatsayılar 1 dir, demek ki en sağ + dan başlayacak.

kökleri incelersek paydada olan 'n denklemi sağlamazken, pay kısmında olan 'm ve  -p eşitik olduğu için denklemi sağlar.

Bizden  olan yerleri istiyor. O halde çözüm kümesi olur.